Question

9．（1）觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，BE⊥l，AD⊥l，垂足分別為D、E．求證：△ADC≌△CEB；
（2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B′C，求△AB′C的面積．
（3）拓展提升：如圖3，等邊△EBC中，EC=BC=3cm，點(diǎn)O在BC上，且OC=2cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以1cm/s速度運(yùn)動，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF．要使點(diǎn)F恰好落在射線EB上，求點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間ts．

Answer 1

分析 （1）由同角的余角相等，和直角判斷出△ADC≌△CEB；
（2）由旋轉(zhuǎn)得到結(jié)論，判斷出四邊形C′ADB′是矩形，再用面積公式計(jì)算即可；
（3）由等式的性質(zhì)判斷出∠BFO=∠CPO，從而得到△OCP≌△FBO，求出CP，即可．

解答 證明：（1）∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△CEB；
（2）如圖1，

根據(jù)題意得出旋轉(zhuǎn)后圖形，AC′⊥AC，B′D′⊥AC，
∵∠C′AC=∠AC′B′=∠AD′B′，
∴四邊形C′AD′B′是矩形，
∴AC′=B′D′=AC=4，
∴S_△AB′C=$\frac{1}{2}$AC×B′D′=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（3）如圖2，

∵△BCE是等邊三角形，
∴∠CBE=∠BCE=60°，
∴∠OBF=∠OCP=120°，
∴∠BOF+∠BFO=60°，
∵∠POF=120°，
∴∠BOF+∠OPC=60°，
∴∠BFO=∠CPO，
∵OP=OF，
∴△OCP≌△FBO，
∴CP=BO=BC-OC=3-2=1，
∴EP=EC+CP=3+1=4，
∵動點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以1cm/s速度運(yùn)動，
∴t=4÷1=4s．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等式的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用等式的性質(zhì)判斷∠BFO=∠CPO是解本題的難點(diǎn)．