Question

5．如圖，△ABC的∠ABC、∠ACB的外角的平分線交于點P．
（1）若∠ABC=50°，∠A=70°，求∠P的度數；
（2）若∠A=68°，求∠P的度數；
（3）根據以上計算，試寫出∠P與∠A的數量關系．

Answer 1

分析 （1）首先根據三角形的外角的性質，求出∠CBD、∠BCE的度數和是多少；然后根據BP、CP分別是∠CBD、∠BCE的平分線，求出∠CBP、∠BCP的度數和是多少；最后根據三角形的內角和定理，求出∠P的度數是多少即可．
（2）首先根據三角形的外角的性質，求出∠CBD、∠BCE的度數和是多少；然后根據BP、CP分別是∠CBD、∠BCE的平分線，求出∠CBP、∠BCP的度數和是多少；最后根據三角形的內角和定理，求出∠P的度數是多少即可．
（3）首先根據三角形的外角的性質，求出∠CBD、∠BCE的度數和是多少；然后根據BP、CP分別是∠CBD、∠BCE的平分線，求出∠CBP、∠BCP的度數和是多少；最后根據三角形的內角和定理，判斷出∠P與∠A的數量關系即可．

解答 解：（1）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A=180°+70°=250°，
∵BP、CP分別是∠CBD、∠BCE的平分線，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=250°÷2=125°，
∴∠P=180°-125°=55°，
即∠P的度數是55°．

（2）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A=180°+68°=248°，
∵BP、CP分別是∠CBD、∠BCE的平分線，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=248°÷2=124°，
∴∠P=180°-124°=56°，
即∠P的度數是56°

（3）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A，
∵BP、CP分別是∠CBD、∠BCE的平分線，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=（180°+∠A）÷2=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠P=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
即∠P與∠A的數量關系為：∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點評 （1）此題主要考查了三角形的內角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的內角和是180°．
（2）此題還考查了三角形的外角的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．