Question

15．在平面直角坐標系中，直線y₁=$\frac{1}{3}$x+a和y₂=-$\frac{1}{4}$x+b交于點E（3，3），點P（m，n）在直線y₁=$\frac{1}{3}$x+a上，過點P（m，n）作x軸的垂線，交直線y₂=-$\frac{1}{4}$x+b于點F．
（1）若n=2，求△PEF的面積；
（2）若PF=2，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y₁=$\frac{1}{3}x$+a和直線y₂=-$\frac{1}{4}x$+b的交點為E（3，3）求得a=2，b=$\frac{15}{4}$，得到直線y₁=$\frac{1}{3}x+2$和直線y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$，求得P（0，2），即可得到結果；
（2）由（1）知，點P在y₁=$\frac{1}{3}x$+2，點F在y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$，由于PF⊥x軸，可設P（m，$\frac{1}{3}m+2$），F(xiàn)（m，-$\frac{1}{4}m+\frac{15}{4}$），于是得到PF=|（$\frac{1}{3}m+2$）-（-$\frac{1}{4}m+\frac{15}{4}$）|=2即可得到結果．

解答 （1）解：∵直線y₁=$\frac{1}{3}x$+a和直線y₂=-$\frac{1}{4}x$+b的交點為E（3，3）
∴3=$\frac{1}{3}$×3+a，3=-$\frac{1}{4}$×3+b，
∴a=2，b=$\frac{15}{4}$，
得直線y₁=$\frac{1}{3}x+2$和直線y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$，如圖所示，
又∵n=2，∴2=$\frac{1}{3}m+2$，m=0，
∴P（0，2），
過點P（0，2）作x軸的垂線，交y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$直線于點F，
F（0，$\frac{15}{4}$），
∴PF=$\frac{7}{4}$，
∴${S}_{△PEF}=\frac{1}{2}×\frac{7}{4}×3=\frac{21}{8}$，

（2）解：由（1）知，點P在y₁=$\frac{1}{3}x$+2，點F在y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$，
∵PF⊥x軸，可設P（m，$\frac{1}{3}m+2$），F(xiàn)（m，-$\frac{1}{4}m+\frac{15}{4}$），
∴PF=|（$\frac{1}{3}m+2$）-（-$\frac{1}{4}m+\frac{15}{4}$）|=2，
∴m=-$\frac{3}{7}$或m=$\frac{45}{7}$，
∴P（-$\frac{3}{7}$，$\frac{13}{7}$）或P（$\frac{45}{7}$，$\frac{29}{7}$）．

點評 本題考查了兩直線相交或平行的問題，一次函數(shù)的性質，三角形的面積的求法，求點的坐標，正確的理解題意是解題的關鍵．