Question

10．如圖，矩形OABC中，A（3，1），B（1，7），BC交y軸于點P．
（1）求點C的坐標；
（2）求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥x軸于G，作AF⊥x軸于F，作BE⊥y軸于E，AF交BE于D，BE交CG于H，由題意得出DE=OF=3，AF=1，DF=OE=7，BE=1，得出AD=6，BD=2，證明△OCG≌△ABD，得出CG=AD=6，OG=BD=2，即可得出結果；
（2）同（1）可證：△BCH≌△OAF，得出CH=AF=1，BH=OF=3，證明△BPE∽△BCH，得出$\frac{PE}{CH}=\frac{BE}{BH}$，求出PE，得出OP，即可得出點P坐標．

解答 解：（1）作CG⊥x軸于G，作AF⊥x軸于F，作BE⊥y軸于E，AF交BE于D，BE交CG于H，如圖所示：
則∠OGC=∠OFA=∠D=∠H=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠4=∠3，
∴∠4=∠1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠OAB=∠ABC=∠BCO=∠AOC=90°，OA=BC，OC=BA，
∵A（3，1），B（1，7），
∴DE=OF=3，AF=1，DF=OE=7，BE=1，
∴AD=6，BD=2，
在△OCG和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OGC=∠D}&{\;}\\{∠4=∠1}&{\;}\\{OC=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=6，OG=BD=2，
∴點C坐標為（-2，6）；
（2）同（1）可證：△BCH≌△OAF，
∴CH=AF=1，BH=OF=3，
∵PE∥CH，
∴△BPE∽△BCH，
∴$\frac{PE}{CH}=\frac{BE}{BH}$，
即$\frac{PE}{1}=\frac{1}{3}$，
∴PE=$\frac{1}{3}$，
∴OP=OE-PE=$\frac{20}{3}$，
∴點P坐標為（0，$\frac{20}{3}$）．

點評 本題考查了矩形的性質、坐標與圖形性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質；熟練掌握矩形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．