Question

7．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，Rt△FEG的直角頂點(diǎn)E在正方形的邊DC上運(yùn)動(dòng)，一條直角邊EF始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一直角邊EG交正方形的邊BC于點(diǎn)H；
（1）當(dāng)點(diǎn)E是CD中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明△AEH與△ADE相似的理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AHCD的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)已知條件證得△ADE∽△ECH，得到$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AE}{EH}$，由于DE=CE，推出$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AE}{EH}$，得出△ADE∽△AEH；
（2）設(shè)DE=x，四邊形AHCD的面積為S，則CE=4-x，根據(jù)梯形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∵∠FEG=90°，
∴∠AED+∠DAE=∠AED+∠CEH=90°，
∴∠DAE=∠CEH=90°，
∴△ADE∽△ECH，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AE}{EH}$，
∵DE=CE，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AE}{EH}$，
∵∠D=∠AEH，
∴△ADE∽△AEH；

（2）設(shè)DE=x，四邊形AHCD的面積為S，則CE=4-x，
∵△ADE∽△ECH，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{CH}$，
∴CH=$\frac{{-x}^{2}+4x}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{{-x}^{2}+4x}{4}$+4）×4=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+10，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_最大值=10，
∴當(dāng)DE=2時(shí)，四邊形AHCD的面積最大，最大值是10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形的面積公式，關(guān)鍵是找準(zhǔn)三角形相似的條件．