Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限的圖象分別交矩形OABC的邊AB、BC邊點于E、F，已知BE=2AE，四邊形的OEBF的面積等于12．
（1）求k的值；
（2）若射線OE對應的函數(shù)關系式是y=

x

6

，求線段EF的長；
（3）在（2）的條件下，連結(jié)AC，試證明：EF∥AC．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,解分式方程,反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,平行線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由△OAE面積與k的關系可求得k值．
（2）由于點E為兩函數(shù)的交點，聯(lián)立方程可求得點E的坐標，進而求出點B、F的坐標，由勾股定理即可求出EF的長．
（3）易證△BEF∽△BAC，從而得到∠BEF=∠BAC，進而得到兩直線平行．

解答：解：（1）連接OB，如圖1所示．
∵S_△OAB=S_△OCB，S_△OCF=S_△OAE=

1

2

k，
∴S_△OFB=S_△OBE．
∵S_△OFB+S_△OBE=12，
∴S_△OBE=6，
∵BE=2AE，
∴S_△OBE=2S_△OAE=6，
∴S_△OAE=

1

2

k=3．
∴k=6．
∴k的值為6．
（2）解方程

x

6

=

6

x

，得：
x=±6，
∵點E在第一象限，
∴x=6，
把x=6代入y=

6

x

，
得y=1，即點E（6，1）．
∵BE=2AE，
∴點B（6，3）．
把y=3代入y=

6

x

，得：
x=2．
∴點F（2，3）．
∴BF=6-2=4，BE=3-1=2．
在直角△BEF中，根據(jù)勾股定理得：
EF=

BF2+BE2

=

42+22

=2

5

．
（3）連接AC，如圖2所示．
∵BF=4，BE=2，BC=6，BA=3，
∴

BF

BC

=

4

6

=

2

3

，

BE

BA

=

2

3

，
∴

BF

BC

=

BE

BA

，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAC．
∴∠BEF=∠BAC．
∴EF∥AC．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定等知識，有一定的綜合性．