Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點A（-1，0）和點B（1，0），直線y=2x-1與y軸交于點C，與拋物線交于點C、D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點A到直線CD的距離；
（3）平移拋物線，使拋物線的頂點P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個交點為Q，點G在y軸正半軸上，當(dāng)以G、P、Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時，求出所有符合條件的G點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,動點型

分析：（1）首先求出點C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線CD與x軸交于點E，求出點E的坐標(biāo)，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出點A到直線CD的距離；
（3）△GPQ為等腰直角三角形，有三種情形，需要分類討論．為方便分析與計算，首先需要求出線段PQ的長度．

解答：解：（1）直線y=2x-1，當(dāng)x=0時，y=-1，則點C坐標(biāo)為（0，-1）．
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵點A（-1，0）、B（1，0）、C（0，-1）在拋物線上，
∴

a-b+c=0 a+b+c=0 c=-1

，
解得

a=1 b=0 c=-1

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-1．

（2）如答圖2所示，直線y=2x-1，
當(dāng)y=0時，x=

1

2

；
設(shè)直線CD交x軸于點E，則E（

1

2

，0）．
在Rt△OCE中，OC=1，OE=

1

2

，
由勾股定理得：CE=

5

2

，
設(shè)∠OEC=θ，則sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

．
過點A作AF⊥CD于點F，
則AF=AE•sinθ=（OA+OE）•sinθ=（1+

1

2

）×

2 5

5

=

3 5

5

，
∴點A到直線CD的距離為

3 5

5

．

（3）∵平移后拋物線的頂點P在直線y=2x-1上，
∴設(shè)P（t，2t-1），則平移后拋物線的解析式為y=（x-t）²+2t-1．
聯(lián)立

y=(x-t)2+2t-1 y=2x-1

，
化簡得：x²-（2t+2）x+t²+2t=0，
解得：x₁=t，x₂=t+2，
即點P、點Q的橫坐標(biāo)相差2，
∴PQ=

2

cosθ

=

2

5 5

=2

5

．
△GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若點P為直角頂點，如答圖3①所示，
則PG=PQ=2

5

．
∴CG=

PG

sin∠OCE

=

PG

cosθ

=

2 5

5 5

=10，
∴OG=CG-OC=10-1=9，
∴G（0，9）；
ii）若點Q為直角頂點，如答圖3②所示，
則QG=PQ=2

5

．
同理可得：G（0，9）；
iii）若點G為直角頂點，如答圖3③所示，
此時PQ=2

5

，
則GP=GQ=

10

．
分別過點P、Q作y軸的垂線，垂足分別為點M、N．
易證Rt△PMG≌Rt△GNQ，
∴GN=PM，GM=QN．
在Rt△QNG中，
由勾股定理得：GN²+QN²=GQ²，
即PM²+QN²=10 ①
∵點P、Q橫坐標(biāo)相差2，
∴NQ=PM+2，
代入①式得：PM²+（PM+2）²=10，
解得PM=1，
∴NQ=3．
直線y=2x-1，
當(dāng)x=1時，y=1，
∴P（1，1），
即OM=1．
∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，
∴G（0，4）．
綜上所述，符合條件的點G有兩個，其坐標(biāo)為（0，4）或（0，9）．

點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，涉及考點眾多，需要認(rèn)真分析計算．第（3）問中，G、P、Q三點均為動點，使得解題難度增大，首先求出線段PQ的長度可以降低解題的難度．