Question

19．如圖，Rt△ACB中，∠C=90°，AB=5，AC=4，D是CB上的動(dòng)點(diǎn)，則$\frac{1}{2}$BD+AD的最小值是$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，延長(zhǎng)AC到M，使得∠CBM=30°，作AN⊥BM于N交BC于D．過(guò)D′作D′N(xiāo)′⊥BM．則DN=$\frac{1}{2}$BD，D′N(xiāo)′=$\frac{1}{2}$BD′．可以證明AN⊥BM時(shí)，AD+$\frac{1}{2}$BD=AN最短，求出AN即可．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)AC到M，使得∠CBM=30°，作AN⊥BM于N交BC于D．過(guò)D′作D′N(xiāo)′⊥BM．則DN=$\frac{1}{2}$BD，D′N(xiāo)′=$\frac{1}{2}$BD′．

∵AD′+$\frac{1}{2}$BD′=AD′+D′N(xiāo)′≥AN′≥AN，
即AD′+$\frac{1}{2}$BD′≥AD+$\frac{1}{2}$BD，
∴當(dāng)A、D、N共線(xiàn)時(shí)，AD+$\frac{1}{2}$BD最短，
即AN⊥BM時(shí)，AD+$\frac{1}{2}$BD=AN最短，
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$•AM•BC=$\frac{1}{2}$•BM•AN，
∴AN=$\frac{AM•CB}{BM}$=$\frac{3×（4+\sqrt{3}）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．
∴AD+$\frac{1}{2}$BD的最小值為$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．
故答案為$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造30度的直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用垂線(xiàn)段最短解決最小值問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．