Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，方程f（x）=x的兩個根x₁，x₂，且x₁-x₂＞2．
（1）求證；x₁，x₂也是方程f（f（x））=x的根；
（2）設(shè)f（f（x））=x的另兩個根是x₃，x₄，且x₃＞x₄．試判斷x₁，x₂，x₃，x₄的大�。�

Answer 1

分析 （1）由方程f（x）=x的兩個根x₁，x₂可得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂，將其代入f（f（x））=x即可得證；
（2）由方程f（x）=x的兩個根x₁，x₂知f（x）-x=（x-x₁）（x-x₂）①，即f（x）=（x-x₁）（x-x₂）+x，從而得出f（x）-x₁=（x-x₁）（x+1-x₂） ②，f（x）-x₂=（x-x₂）（x+1-x₁）   ③，再將f（x）=x代入①可得f[f（x）]-f（x）=[f（x）-x₁][f（x）-x₂]，即f[f（x）]-x=（x-x₁）（x-x₂）[（x+1-x₁）（x+1-x₂）+1]，令g（x）=（x+1-x₁）（x+1-x₂）+1即可得答案．

解答 解：（1）∵方程f（x）=x的兩個根x₁，x₂，
∴f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂，
則f（f（x₁））=f（x₁）=x₁，f（f（x₂））=f（x₂）=x₂，
即x₁，x₂也是方程f（f（x））=x的根；

（2）∵方程f（x）=x的兩個根x₁，x₂，
∴f（x）-x=（x-x₁）（x-x₂）①，
即f（x）=（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴f（x）-x₁=（x-x₁）（x+1-x₂） ②，
f（x）-x₂=（x-x₂）（x+1-x₁）   ③，
在①中，令f（x）代替x，得：
f[f（x）]-f（x）=[f（x）-x₁][f（x）-x₂]，
∴f[f（x）]-x=（x-x₁）（x-x₂）（x+1-x₂）（x+1-x₁）+f（x）-x
=（x-x₁）（x-x₂）[（x+1-x₁）（x+1-x₂）+1]，
令g（x）=（x+1-x₁）（x+1-x₂）+1，
∵g（x₁）=x₁-x₂+2＜0，
g（x₂）=x₂-x₁+2＞0，
∴g（x）=0在（-∞，x₁）及（x₁，x₂）內(nèi)分別有一個根，由于x₃＞x₄，
∴x₄＜x₁＜x₃＜x₂．

點評 本題主要考查一元二次方程的解得概念，熟練掌握一元二次方程的解的概念和一元二次方程的解和函數(shù)間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．