Question

已知（a-1）x²-（a²+1）x+a²+a=0的根是正整數(shù)，求a的整數(shù)值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,一元一次方程的解

專題：計算題

分析：分類討論：當a-1=0，解a=1，原方程變形一元一次方程，解得x=1；當a-1≠0，利用因式分解法解方程得到x₁=

a+1

a-1

，x₂=a，由于x₁=

a+1

a-1

=

a-1+2

a-1

=1+

2

a-1

，根據(jù)整數(shù)的整除性易得a=-1，0，2，3，然后綜合兩種情況即可．

解答：解：當a-1=0，解a=1，原方程變形為-2x+2=0，解得x=1；
當a-1≠0，即a≠1時，[（a-1）x-（a+1）]（x-a）=0，解得x₁=

a+1

a-1

，x₂=a，
因為x₁=

a+1

a-1

=

a-1+2

a-1

=1+

2

a-1

，
而a為整數(shù)，x₁也為整數(shù)，
所以a-1=±1，±2，
所以a=-1，0，2，3，
綜上所述，整數(shù)a的值為-1，0，1，2，3．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了解一元二次方程．