Question

如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：
（1）當t=

 

 時，PQ∥BC．
（2）如圖2，把△AQP沿AP翻折，當t=

 

時，得到的三角形與原三角形組成的四邊形為菱形．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）證△APQ∽△ABC，推出

AP

AB

=

AQ

AC

，代入得出

10-2t

10

=

2t

8

，求出方程的解即可
（2）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關系，求得PQ、QD和PD的長度；然后在Rt△PQD中，求得時間t的值．

解答：解：（1）由題意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10-2t

10

=

2t

8

，
解得 t=

20

9

，
即當t為

20

9

s時，PQ∥BC．

（2）假設存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t．
∵△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²=100，
∴∠C=90°．
如圖2所示，過P點作PD⊥AC于點D，則有PD∥BC，
∴

AD

AQ

=

AP

AB

，即

10-2t

10

，
解得：PD=6-

6

5

t，AD=8-

8

5

t，
∴QD=AD-AQ=8-

8

5

t-2t=8-

18

5

t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8-

18

5

t）²+（6-

6

5

t）²=（2t）²，
化簡得：13t²-90t+125=0，
解得：t₁=5，t₂=

25

13

，
∵t=5s時，AQ=10cm＞AC，不符合題意，舍去，
∴t=

25

13

．
故答案是：（1）

20

9

；（2）

25

13

．

點評：本題是非常典型的動點型綜合題，全面考查了相似三角形線段比例關系、菱形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法，涉及的考點眾多，計算量偏大，有一定的難度．本題考查知識點非常全面，是一道測試學生綜合能力的好題．