Question

7．實驗與探究：三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)計算．
如圖是一個三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點(diǎn)，第二行有2個點(diǎn)…第n行有n個點(diǎn)…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)的和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點(diǎn)數(shù)的和嗎？
如果要用試驗的方法，由上而下地逐行的相加其點(diǎn)數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的點(diǎn)數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和與n的數(shù)量關(guān)系前n行的點(diǎn)數(shù)的和是1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n，可以發(fā)現(xiàn)．
2×[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]=[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]+[n+（n-1）+（n-2）+…3+2+1]
把兩個中括號中的第一項相加，第二項相加…第n項相加，上式等號的后邊變形為這n個小括號都等于n+1，整個式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n=n（n+1）這就是說，三角點(diǎn)陣中前n項的點(diǎn)數(shù)的和是 n（n+1）．
下列用一元二次方程解決上述問題
設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為300，則有$\frac{1}{2}$n（n+1）=300整理這個方程，得：n²+n-600=0解方程得：n₁=24，n₂=-25，根據(jù)問題中未知數(shù)的意義確定n=24，即三角點(diǎn)陣中前24行的點(diǎn)數(shù)的和是300．請你根據(jù)上述材料回答下列問題：
（1）三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．（2）如果把圖中的三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的點(diǎn)數(shù)的和滿足什么規(guī)律嗎？這個三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)能，設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為600，根據(jù)探索可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程求出n的值，再根據(jù)方程的解均不為整數(shù)，即可得知假設(shè)不成立，從而得出結(jié)論；
（2）由探索可知：2×[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]=n（n+1），假設(shè)能，設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為600，根據(jù)探索可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程求出n的值，根據(jù)未知數(shù)的意義確定n的值，此題得解．

解答 解：（1）假設(shè)能，設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為600，
則有$\frac{1}{2}$n（n+1）=600，整理得：n²+n-1200=0，
解得：n₁=$\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}$，n₂=$\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}$，
∵n₁，n₂均不為整數(shù)，
∴假設(shè)不成立，即三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和不能是600．
（2）由探索可知：2×[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]=n（n+1），
假設(shè)能，設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為600，
則有n（n+1）=600，整理得：n²+n-600=0，
解得：n₁=24，n₂=-25，
根據(jù)問題中未知數(shù)的意義確定n=24，即三角點(diǎn)陣中前24行的點(diǎn)數(shù)的和是600．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)探索列出關(guān)于n的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．