Question

15．如圖1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC的度數(shù)為α，點(diǎn)D是底邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度得到△ACE，連接DE．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，連接DF，判斷四邊形CDFE的形狀，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，△ABC滿足條件∠BAC=90°時(shí)，四邊形CDFE為正方形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，從而可得$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，∠BAC=∠DAE，即可得到△ABC∽△ADE；
（2）易證∠ACE=∠ABD=∠ACD=∠EFC，則有EF=EC，從而可得EF=EC=BD=DC，由此可證到四邊形CDFE是菱形；
（3）要使菱形CDFE是正方形，只需∠DCE=90°，只需∠DCF=45°，只需∠BAC=90°．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABD≌△ACE，
則BD=CE，AB=AC，AD=AE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；

（2）四邊形CDFE是菱形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB．
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACE，
∴EF=EC，
∴EF=CE=BD．
∵BD=DC，
∴EF=DC．
又∵EF∥DC，
∴四邊形DCEF是平行四邊形．
∵EF=EC，
∴?DCEF是菱形；

（3）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠DCE=90°，
∴菱形DCEF是正方形，
故答案為∠BAC=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定、菱形的判定、正方形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證到∠ACE=∠EFC進(jìn)而得到EF=EC是解決第（2）小題的關(guān)鍵．