Question

20．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-6ax-16a（a＜0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．
（1）①線段BC的長(zhǎng)為10；②點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-16a）（用a的代數(shù)式表示）．
（2）設(shè)M是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A、C、M為頂點(diǎn)的三角形能否成為以AC為斜邊且有一個(gè)銳角是30°的直角三角形？若能，求出a的值； 若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若a=-$\frac{1}{4}$，點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)？

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)和韋達(dá)定理，求出BC，②根據(jù)y軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，令x=0求出y即可；
（2）作出輔助線得到△AEM∽△MCF，再分兩種情況①當(dāng)點(diǎn)M在AC上方時(shí)，分兩種情況Ⅰ、當(dāng)∠ACM=30°時(shí)和Ⅱ、當(dāng)∠CAM=30°，②當(dāng)點(diǎn)M在AC下方時(shí)，和①一樣分兩種情況，討論計(jì)算，
（3）先設(shè)出P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），得到Q（m，-$\frac{1}{2}$m+4）．分兩種情況討論計(jì)算．

解答 解：（1）①∵二次函數(shù)y=ax²-6ax-16a（a＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)，
令y=0，得ax²-6ax-16a=0，
∴BC=|x₁-x₂|=10，
故答案為10，
②令x=0，得y=-16a
∴A（0，-16a）
故答案為（0，-16a）．    
（2）∵∠AMC=90°
①如圖，

當(dāng)點(diǎn)M在AC上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作直線ME∥x軸，過(guò)點(diǎn)C作直線CF∥y軸交ME于點(diǎn)F，
∴OA=-16a，ME=3，F(xiàn)M=5，△AEM∽△MCF
（Ⅰ）當(dāng)∠ACM=30°時(shí)，tan30°=$\frac{AM}{MC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵△AEM∽△MCF，
∴$\frac{AE}{5}=\frac{3}{CF}=\frac{AM}{CM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，CF=3$\sqrt{3}$，
∵OE=CF，
∴-16a+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$；
（Ⅱ）當(dāng)∠CAM=30°時(shí)，cot30°=$\frac{AM}{MC}$=$\sqrt{3}$，
∵△AEM∽△MCF，
∴$\frac{AE}{5}$=$\frac{3}{CF}$=$\frac{AM}{MC}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=5$\sqrt{3}$，CF=$\sqrt{3}$，
∴AE＞CF，
這與圖中題設(shè)AE＜CF矛盾，所以這種情況不存在．
②如圖，

當(dāng)點(diǎn)M在AC下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作直線MG∥x軸，過(guò)點(diǎn)C作直線CH∥y軸交MG于點(diǎn)H，易得OA=-16a，MG=3，MH=5，△AGM∽△MHC
（Ⅰ）當(dāng)∠MAC=30°時(shí)，cot30°=$\frac{AM}{MC}$=$\sqrt{3}$，
∵△AGM∽△MHC，
∴$\frac{AG}{5}$=$\frac{3}{CH}$=$\frac{AM}{MC}$=$\sqrt{3}$，
∴AG=5$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{3}$，
∵OG=CH，
∴5$\sqrt{3}$-（-16a）=$\sqrt{3}$，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
（Ⅱ）當(dāng)∠ACM=30°時(shí)，tan30°=$\frac{AM}{MC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵△AGM∽△MHC，
∴$\frac{AG}{5}$=$\frac{3}{CH}$=$\frac{AM}{MC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AG=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，CH=3$\sqrt{3}$
∴AG＜CH，這與圖中題設(shè)AG＞CH矛盾，所以這種情況不存在．
∴a的值為-$\frac{\sqrt{3}}{12}$或-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）∵a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
∴A（0，4），C（8，0），
∴直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
如圖，

過(guò)P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點(diǎn)Q．
設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），則Q（m，-$\frac{1}{2}$m+4）．
①當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，點(diǎn)P在x軸上方部分只一個(gè)交點(diǎn)
PQ=（-$\frac{1}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）=$\frac{1}{4}$m²-2m，
∴S=S_△CPQ-S_△APQ=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20．
∵A（0，4），B（-2，0），C（8，0），
∴AB²+AC²=20+80=100=BC²，
∴∠BAC=90°
當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，S_最大=$\frac{1}{2}$×AC×AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=20，
即：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)-2＜m＜0時(shí)，點(diǎn)P在x軸上方部分只一個(gè)交點(diǎn)．
∵所得△PAC的面積為S，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)在0＜m＜8時(shí)，只能有一個(gè)，
②如圖，當(dāng)0＜m＜8時(shí)，只有如圖所示的位置時(shí)，直線PE和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)

PQ=（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{2}$m+4）=-$\frac{1}{4}$m²+2m，
∴S=S_△APQ+S_△PQC=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；   
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)在-2＜m＜0，面積在0＜S＜20范圍內(nèi)，點(diǎn)P在拋物線上始終存在一個(gè)點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)在0＜m＜8，面積在0＜S≤16范圍內(nèi)，點(diǎn)P在拋物線上有且只有一個(gè)，
故S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了韋達(dá)定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)和判定，面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是三角形相似的判定．