Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的邊OA在x軸上，點(diǎn)B在第一象限，∠BAO=45°，AB=12$\sqrt{2}$，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（17，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若D為線段OB的中點(diǎn)，E為y軸上一點(diǎn)，直線DE交AB于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)F，其中OE=$\frac{7}{2}$，連接AD，求直線DE的解析式及四邊形OACD的面積；
（3）若點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形是以AD為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作BI⊥OA于I．設(shè)OI=x，在Rt△ABI中，根據(jù)AB²=AI²+BI²，列出方程即可解決問題．
（2）先求出直線DE、AB的解析式，利用方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)S_{四邊形OACD}=S_△ACF-S_△ODF計(jì)算即可．
（3）如圖2中，分四種情形①當(dāng)△DAP₁是等腰直角三角形時(shí)，作P₁M⊥x軸于M，DN⊥OA于N，由△ADN≌△P₁AM得到，AM=DN=6，P₁M=AN=$\frac{29}{2}$，②當(dāng)△ADP₂是等腰直角三角形時(shí)，③當(dāng)△ADP₃是等腰直角三角形時(shí)，④當(dāng)△ADP₄是等腰直角三角形時(shí)，分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，作BI⊥OA于I．設(shè)OI=x，
∵∠BAO=45°，∠BIA=90°，A（17，0）
∴∠IAB=∠IBA=45°，
∴AI=BI=17-x，
在Rt△ABI中，∵AB²=AI²+BI²，
∴（12$\sqrt{2}$）²=（17-x）²+（17-x）²，
解得x=5或27（舍棄），
∴B（5，12）．

（2）如圖1中，∵B（5，12），OD=DB，
∴D（$\frac{5}{2}$，6），∵E（0，$\frac{7}{2}$），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{\frac{5}{2}k+b=6}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=x+$\frac{7}{2}$，同法可得直線AB的解析式為y=-x+17，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+17}\\{y=x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{4}}\\{y=\frac{41}{4}}\end{array}\right.$，
∴交點(diǎn)C坐標(biāo)（$\frac{27}{4}$，$\frac{41}{4}$），F(xiàn)（-$\frac{7}{2}$，0），
∴S_{四邊形OACD}=S_△ACF-S_△ODF=$\frac{1}{2}$×$\frac{41}{2}$×$\frac{41}{4}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×6=$\frac{1513}{16}$．

（3）如圖2中，
當(dāng)△DAP₁是等腰直角三角形時(shí)，作P₁M⊥x軸于M，DN⊥OA于N．
∵D（$\frac{5}{2}$，6），A（17，0），
∴DN=6，AN=$\frac{29}{2}$，
由△ADN≌△P₁AM得到，AM=DN=6，P₁M=AN=$\frac{29}{2}$，
∴P₁（23，$\frac{29}{2}$），
當(dāng)△ADP₂是等腰直角三角形時(shí)，
∵P₁與P₂關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，A（17，0），
∴P₂（11，-$\frac{29}{2}$），
當(dāng)△ADP₃是等腰直角三角形時(shí)，
P₃可以可知P₁向上平移6個(gè)單位，向左平移$\frac{29}{2}$個(gè)單位得到，
∴P₃（$\frac{17}{2}$，$\frac{41}{2}$），
當(dāng)△ADP₄是等腰直角三角形時(shí)，
P₄可以可知P₂向上平移6個(gè)單位，向左平移$\frac{29}{2}$個(gè)單位得到，
∴P₄（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{17}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、四邊形面積問題、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．