Question

16．（1）已知：如圖1，P為△ADC內(nèi)一點(diǎn)，DP、CP分別平分DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，則∠P=90+$\frac{x}{2}$°；（答案直接填在題中橫線上）
（2）如圖2，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系，并寫出你的探索過程；
（3）如圖3，P為五邊形ABCDE內(nèi)一點(diǎn)，DP、CP分別平分DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E的數(shù)量關(guān)系：$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E）-90°；
（4）如圖4，P為六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，DP、CP分別平分DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系：$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；
（5）若P為n邊形A₁A₂A₃…A_n內(nèi)一點(diǎn)，PA₁平分∠A_nA₁A₂，PA₂平分∠A₁A₂A₃，請直接寫出∠P與∠A₃+A₄+A₅+…∠A_n的數(shù)量關(guān)系：$\frac{1}{2}$（∠A₃+∠A₄+∠A₅+…∠A_n）-（n-4）×90°．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（4）根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（5）根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．

解答 解：（1）∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠ACD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠ACD）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，則∠P=（90+$\frac{x}{2}$）°；
（2）∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠BCD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠B）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）；
（3）五邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（5-2）•180°=540°，
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠EDC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠EDC-$\frac{1}{2}$∠BCD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EDC+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（540°-∠A-∠B-∠E）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E）-90°，
即∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E）-90°．
（4）六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠EDC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠EDC-$\frac{1}{2}$∠BCD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EDC+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
（5）同（1）可得，∠P=$\frac{1}{2}$（∠A₃+∠A₄+∠A₅+…∠A_n）-（n-4）×90°．
故答案為：120，135，（90+$\frac{x}{2}$）；$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）；∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E）-90°；∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；，∠P=$\frac{1}{2}$（∠A₃+∠A₄+∠A₅+…∠A_n）-（n-4）×90°．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．