Question

16．定義：若函數(shù)y₁與y₂同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
①兩個(gè)函數(shù)的自變量x，都滿足a≤x≤b；
②在自變量范圍內(nèi)對于任意的x₁都存在x₂，使得x₁所對應(yīng)的函數(shù)值y₁與x₂所對應(yīng)的函數(shù)值y₂相等． 我們就稱y₁與y₂這兩個(gè)函數(shù)為“兄弟函數(shù)”．
設(shè)函數(shù)y₁=x²-2x-3，y₂=kx-1
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，求出所有使得y₁=y₂成立的x值；
（2）當(dāng)1≤x≤3時(shí)判斷函數(shù)y₁=$\frac{3}{x}$與y₂=-x+5是不是“兄弟函數(shù)”，并說明理由；
（3）已知：當(dāng)-1≤x≤2時(shí)函數(shù)y₁=x²-2x-3與y₂=kx-1是“兄弟函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）將k=-1代入一次函數(shù)，與二次函數(shù)聯(lián)立方程組，求出方程組的解即為x的值；
（2）假設(shè)兩個(gè)函數(shù)是兄弟函數(shù)，聯(lián)立方程組，求出x的值，判斷x值是否符合相應(yīng)取值范圍，經(jīng)過判斷，兩個(gè)函數(shù)不是兄弟函數(shù)；
（3）利用兄弟函數(shù)的定義，聯(lián)立函數(shù)解析式，求出x的值，然后將x的值帶入x的取值范圍，得到一個(gè)不等式組，解不等式組即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=-1時(shí)，y₂=-x-1，
根據(jù)題意得：x²-2x-3=-x-1，
解得：x=2或x=-1；
∴x的 值為2或-1．

（2）不是
若$\frac{3}{x}$=-x+5，
則x²-5x+3=0，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{13}}{2}$，
∵3＜$\sqrt{13}$＜4
∴4＜$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$＜$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}$＜$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$＜1，
兩根均不在1≤x≤3，
∴函數(shù)y₁=$\frac{3}{x}$與y₂=-x+5不是“兄弟函數(shù)”．

（3）∵函數(shù)y₁=x²-2x-3與y₂=kx-1是“兄弟函數(shù)”，
∴x²-2x-3=kx-1，
整理得：x²-（2+k）x-2=0，
解得：x=$\frac{2+k±\sqrt{（2+k）^{2}+8}}{2}$，
∵-1≤x≤2時(shí)函數(shù)y₁=x²-2x-3與y₂=kx-1是“兄弟函數(shù)”，
∴-1≤$\frac{2+k+\sqrt{（2+k）^{2}+}8}{2}$≤2，
解得：k≤-3，
或1≤$\frac{2+k-\sqrt{（2+k）^{2}+}8}{2}$≤2，
解得：k≥-1．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍：k≤-3或k≥-1．

點(diǎn)評 題目考查了兄弟函數(shù)的定義，屬于新定義類型，在考查新定義的同時(shí)，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用聯(lián)立方程求出方程的根．題目整體較難，在理解的同時(shí)，考查學(xué)生快速理解新定義的能力，這也是中考變革的方向．