Question

10．設(shè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)分別為α、β、γ，如果其中一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的3倍，那么我們稱這個三角形為“和諧三角形”，并把滿足條件的α、β、γ（β≤γ）稱為“和諧三角形”的一組值．例如α=30°，β=60°，γ=90°為“和諧三角形”的一組值．
（1）當(dāng)α=48°，寫出以α=48°為其中一個內(nèi)角的“和諧三角形”的一組值；
（2）當(dāng)α≥135°時，符合條件的“和諧三角形”是否只有一組值，寫出你的判斷并用含α的代數(shù)式表示β、γ；
（3）α為何值時，符合條件的“和諧三角形”分別有一組、二組、三組值？請你分別寫出對應(yīng)α的值或范圍（直接填在下表中）．

符合條件的“和諧三角形”的值	一組	二組	三組
α的值或范圍	α≥135°	45°≤α＜135°	0°＜α＜45°

Answer 1

分析 （1）有兩種切線①α是β的三倍，②γ是β的三倍．
（2）只有一種情形，γ是β的三倍，構(gòu)建三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．
（3）根據(jù)135°=3×45°，135°+45°=180°，由此即可解決問題．

解答 解：（1）α=48°，β=33°，γ=99°或α=48°，β=16°，γ=116°．
（2）只有一組，β=$\frac{1}{4}$（180°-α），γ=$\frac{3}{4}$（180°-α）．
（3）α≥135°時，只有一組．
45°≤α＜135°時，有二組．
0°＜α＜45°時，有三組．
故答案分別為α≥135°，45°≤α＜135°，0°＜α＜45°．

點評 本題考查三角形內(nèi)角和定理、解題的關(guān)鍵是理解題意，考慮問題要全面，不能漏解，屬于中考創(chuàng)新題目．