Question

4．已知邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上，且BE=2CE，連結(jié)AE交射線DC于點(diǎn)F，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B₁處．
（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段BC上，求CF的長(zhǎng)；
（2）求sin∠DAB₁的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行線性質(zhì)以及線段比求出CF的值；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DF}{FC}$，根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB∥DF，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{BE}{CE}$，
∵BE=2CE，AB=3，
∴$\frac{3}{CF}$=$\frac{2CE}{CE}$，
∴CF=$\frac{3}{2}$；

（2）若點(diǎn)E在邊BC上，延長(zhǎng)AB₁交DC于H，∵∠BAE=∠B₁AE=∠DFE，
∴AH=FH，AE=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
$\frac{EF}{AE}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)DH=x，CH=3-x，
∵CF=1，5，
∴AH=FH=$\frac{9}{2}$-x，
∵AD²+DH²=AH²，
∴3²+x²=（$\frac{9}{2}$-x）²，
∴x=$\frac{5}{4}$，
∴DH=$\frac{5}{4}$，AH=$\frac{13}{4}$，
∴sin∠DAB₁=$\frac{DH}{AH}$=$\frac{5}{13}$；
若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，如圖，設(shè)直線AB1與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DF}{FC}$，
∴DF=FC=$\frac{3}{2}$，
設(shè)DN=x，則AN=NF=x+$\frac{3}{2}$．
在Rt△ADN中，AD²+DN²=AN²，
∴3²+x²=（x+$\frac{3}{2}$）²，
∴x=$\frac{9}{4}$．
∴DN=$\frac{9}{4}$，AN=$\frac{15}{4}$，
∴sin∠DAB₁=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)，線段比以及勾股定理等相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用，注意兩種情況的分析探討．