Question

9．若平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)關(guān)于過原點(diǎn)的一條直線對(duì)稱，則這兩點(diǎn)就是互為鏡面點(diǎn)，這條直線叫鏡面直線，如A（2，3）和B（3，2）是以y=x為鏡面直線的鏡面點(diǎn)．
（1）M（4，1）和N（-1，-4）是一對(duì)鏡面點(diǎn)，則鏡面直線為y=-x；
（2）以y=$\sqrt{3}$x為鏡面直線，E（-2，0）的鏡面點(diǎn)為（1，-$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 （1）求得線段MN的中點(diǎn)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)題意求得經(jīng)過E（-2，0）和它的鏡面點(diǎn)的直線的解析式，然后聯(lián)立方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求得鏡面點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
∵M(jìn)（4，1）和N（-1，-4），
∴線段MN的中點(diǎn)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∵鏡面直線經(jīng)過原點(diǎn)和（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴鏡面直線為y=-x；
（2）∵y=$\sqrt{3}$x為鏡面直線，
∴經(jīng)過E（-2，0）和它的鏡面點(diǎn)的直線為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+b=0，
∴b=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
設(shè)鏡面點(diǎn)為（x，y），
∴$\frac{-2+x}{2}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{0+y}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得x=1，y=-$\sqrt{3}$，
∴鏡面點(diǎn)為$（1，-\sqrt{3}）$；
故答案為y=-x；（1，-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．