Question

4．如圖，拋物線y=ax²-4ax+3a（a＞0），與y軸交于點A，在x軸的正半軸上取一點B，使OB=2OA，拋物線的對稱軸與拋物線交于點C，與x軸交于點D，與直線AB交于點E，連接BC．
（1）求點B，C的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若△BCD與△BDE相似，求a的值；
（3）連接OE，記△OBE的外心為M，點M到直線AB的距離記為h，請?zhí)骄縣的值是否會隨著a的變化而變化？如果變化，請寫出h的取值范圍；如果不變，請求出h的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0代入拋物線可得y=3a，即OA=3a，因為OB=2OA，所以B的坐標為（6a，0），點C時拋物線的頂點，利用頂點坐標公式即可求出C的坐標為（2，-a）；
（2）由于點B的位置不確定，所以分三種情況討論，一是點B在點D的左側，二是點B在點D的右側，三是點B與點D重合，其中第三種情況是不存在△BCD與△BDE；另外，△BCD與△BDE相似時，有兩種情況，一是∠DBC=∠EBD，二是∠DBE=∠DBC，利用相似三角形的性質即可求出a的值；
（3）由于點B的位置不確定，所以分三種情況討論，一是點B在點D的左側，二是點B在點D的右側，三是點B與點D重合，其中第三種情況是不存在△OBE，由題意知：點M在OB和BE的垂直平分線上，設OB和BE的垂直平分線交于點M，其中OB的垂直平分線與OB交于點G，BE的垂直平分線交OB于點H，交BE于點F，利用相似三角形的性質求出MF的長度即可；

解答 解：（1）由拋物線的解析式可知：點C的坐標為（2，-a），
令x=0代入y=ax²-4ax+3a，
∴y=3a，
∴OA=3a，
∵OB=2OA=6a，
∴點B的坐標為（6a，0）；

（2）由（1）可知：OD=2，CD=a，OB=6a，
若點B在點D的右側時，如圖1，
則6a＞2，
∴a＞$\frac{1}{3}$，
∴BD=6a-2，
當∠DBC=∠EBD時，
∴tan∠DBC=tan∠EBD=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{6a-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，
當∠DCB=∠EBD時，
∴tan∠DCB=tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{6a-2}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{4}{11}$，
若點B在點D的左側時，如圖2，
則0＜6a＜2，
∴0＜a＜$\frac{1}{3}$，
∴BD=2-6a，
當∠DBC=∠EBD時，
∴tan∠DBC=tan∠EBD=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{2-6a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{4}$，
當∠DCB=∠EBD時，
∴tan∠DCB=tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2-6a}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{4}{13}$，
若點B與點D重合時，
則6a=2，
∴a=$\frac{1}{3}$，
此情況不存在△BCD與△BDE，
綜上所述，a的值為$\frac{1}{2}$、$\frac{4}{11}$、$\frac{4}{13}$和$\frac{1}{4}$；

（3）由題意知：點M在OB和BE的垂直平分線上，
設OB和BE的垂直平分線交于點M，
其中OB的垂直平分線與OB交于點G，
BE的垂直平分線交OB于點H，交BE于點F
當點B在點D的右側時，如圖3，
∴6a＞2，
∴a＞$\frac{1}{3}$，
∴BD=6a-2，
∵tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴ED=$\frac{1}{2}$BD=3a-1，
由勾股定理可求得：BE=3$\sqrt{5}$a-$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3\sqrt{5}a-\sqrt{5}}{2}$，
∴HF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3\sqrt{5}a-\sqrt{5}}{4}$，
∴由勾股定理可求得：BH=$\frac{15a-5}{4}$，
∴HG=BG-BH=$\frac{5-3a}{4}$，
∵∠GMH=∠EBD，
∴sin∠GMH=sin∠EBD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MH=$\sqrt{5}$HG=$\frac{5\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
∴MF=MH+HF=$\sqrt{5}$，
當點B在點D的左側時，
∴0＜a＜$\frac{1}{3}$，
∴BD=OD-OB=2-6a，
∵tan∠ABO=tan∠DBE=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=1-3a，
∴由勾股定理可求得：BE=$\sqrt{5}$-3$\sqrt{5}$a，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{2}$，
∴HF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
由勾股定理求得：BH=$\frac{5-15a}{4}$，
∵GB=$\frac{1}{2}$OB=3a，
∴GH=GB+BH=$\frac{5-3a}{4}$，
∵∠HBF+∠BHF=90°，
∠GMH+∠BHF=90°，
∴∠HBF=∠GMH，
∴sin∠HBF=sin∠GMH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MH=$\sqrt{5}$GH=$\frac{5\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
∴MF=MH-HF=$\sqrt{5}$，
當點B與點D重合時，
此時a=$\frac{1}{3}$，
此情況不符合題意，舍去
綜上所述，點M到直線AB的距離不會變化，始終為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及已知解析式求坐標的問題，相似三角形的性質與判定，需要學生利用分類討論的思想解答，并且能靈活運用所學知識．