Question

求所有的三元數(shù)組（m，n，p），使其滿足pⁿ+144=m²，其中m，n是正整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

專題：

分析：由pⁿ+144=m²，可得pⁿ=m²-144=（m+12）（m-12），根據(jù)p是質(zhì)數(shù)，可設(shè)m-12=p^k，則m+12=p^n-k，得到p^n-k-p^k=24，p^k（p^n-2k-1）=3×2³，得到p^k=3，p^n-2k-1=2³或p^k=2³，p^n-2k-1=3，進(jìn)一步得到關(guān)于m，n，p的方程求解即可．

解答：解：由pⁿ+144=m²，
pⁿ=m²-144=（m+12）（m-12），
∵p是質(zhì)數(shù)，
∴設(shè)m-12=p^k，則m+12=p^n-k，
∴p^n-k-p^k=24，
∴p^k（p^n-2k-1）=3×2³，
∴p^k=3，p^n-2k-1=2³，
解得p=3，k=1，n=4，
∴m=p^k+12=15，
或p^k=2³，p^n-2k-1=3，
解得p=2，k=3，n=8，
∴m=p^k+12=20，
∴所有三元數(shù)組為（15，4，3）或（20，2，8）．

點(diǎn)評(píng)：考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，此題難度比較大，要認(rèn)真分析題意讀懂題意，理解質(zhì)數(shù)的概念．