Question

Rt△ABC中直角邊AC=6，BC=8，設P，Q分別為AB，BC上動點，P自A沿AB方向向B做每秒2cm的運動，同時點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，且速度均為1cm/s，當一個點到達終點時，另一個點就停止運動，設移動時間為t秒． 
（1）寫出△PBQ的面積S（cm²）與時間t（s）之間的函數(shù)表達式，并寫出t的取值范圍；
（2）當t為何值時△PBQ為等腰三角形；
（3）△PBQ能否與Rt△ABC相似？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過點P作PH⊥BC，垂足為H，從而得到△BPH∽△ABC，根據(jù)相似比例求出PH的長，可以得到用t表示面積的函數(shù)解析式；
（2）分三種情況討論三角形PBQ為等腰三角形，即BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ，再分別求t的值；
（3）分△PBQ∽△ABC與△PBQ∽△CBA兩種情況進行討論即可．

解答：（1）解：∵Rt△ABC中直角邊AC=6，BC=8，
∴AB=

62+82

=10，
∴BP=10-2t，BQ=t．
如圖1，過點P作PH⊥BC，垂足為H，
∵AC⊥BC，
∴△BPH∽△ABC，
∴

AC

PH

=

AB

BP

，即

6

PH

=

10

10-2t

，解得PH=6-

6

5

t，
∴S=

1

2

BQ•PH=

1

2

t•（6-

6

5

t）=-

3

5

t2+3t（0＜t≤5）；

（2）解：①當BP=BQ時，10-2t=t，解得t=

10

3

秒；
②如圖2，當BQ=PQ時，作QE⊥BD，垂足為E，
∵BQ=PQ，QE⊥BD，
∴BE

5-t

8

=

1

2

BP=

1

2

（10-2t）=5-t，
∵∠B=∠B，∠ACB=∠QEB=90°，
∴△BQE∽△BAC，
∴

BQ

AB

=

BE

BC

，即

t

10

=

5-t

8

，解得t=

25

9

秒；
③如圖3，當BP=PQ時，作PF⊥BC，垂足為F，
∵BP=PQ，PF⊥BC，
∴BF=

1

2

BQ=

1

2

t．
∵∠B=∠B，∠PFB=∠C=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴

BP

AB

=

BF

BC

，即

10-2t

10

=

t 2

8

，解得t=

80

21

秒．
∴當t=

10

3

秒，t=

25

9

秒，t=

80

21

秒時，均使△PBQ為等腰三角形；

（3）能．
理由：當△PBQ∽△ABC時，

BQ

BC

=

BP

AB

，即

t

8

=

10-2t

10

，解得t=

40

13

（秒）；
當△PBQ∽△CBA時，

BQ

AB

=

BP

BC

，即

t

10

=

10-2t

8

，解得t=

25

7

（秒）．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，此類問題是近幾年中考中較常見的題目，在解答時要注意進行分類討論，不要漏解．