Question

1．如圖，點(diǎn)M為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一點(diǎn)，已知A（0，-1），B（5，0），若MA=MB，且MA⊥MB，求k的值．

Answer 1

分析 先過(guò)M作MC⊥x軸于C，MD⊥y軸于D，構(gòu)造全等三角形：△ADM≌△BCM，設(shè)正方形CODM的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得到關(guān)于a的方程，進(jìn)而得到M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出k的值．

解答 解：如圖所示，過(guò)M作MC⊥x軸于C，MD⊥y軸于D，則∠DMC=90°=∠ADM=∠BCM，
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD=∠BMC，
在△ADM和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠BCM}\\{∠AMD=∠BMC}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BCM（AAS），
∴DM=CM，BC=AD，
∴四邊形CODM是正方形，
設(shè)正方形CODM的邊長(zhǎng)為a，
∵A（0，-1），B（5，0），
∴BC=5-a，AD=a+1，
∴5-a=a+1，
解得a=2，
∴M（2，2），
∵點(diǎn)M為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一點(diǎn)，
∴k=2×2=4，
故k的值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)等邊三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行求解．