Question

11．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AC=6，CE=5，直接寫(xiě)出四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推知△ABC是直角三角形，所以結(jié)合直角三角形的面積求法和圖形得到：四邊形ABCD的面積=S_△AEC+S_△EBC+S_△ACD．

解答 解：
（1）證明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∴四邊形AECD是菱形；
（2）解：∵四邊形AECD是菱形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ACE，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴∠B=∠ECB，
∴∠ACE+∠ECB=90°，即∠ACB=90°；
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，EC=5，
∴AB=2EC=10，
∴BC=8．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=24．
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，四邊形AECD是菱形，
∴S_△AEC=S_△EBC=S_△ACD=12．
∴四邊形ABCD的面積=S_△AEC+S_△EBC+S_△ACD=36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，利用了菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，借用了“分割法”求得四邊形ABCD的面積．