Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，1），且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)．
（1）c=

 

；b=

 

（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求a的取值范圍；
（3）若過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸的直線交該拋物線于另一點(diǎn)D，AD、BC交于點(diǎn)P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，求S₁-S₂的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將點(diǎn)C（0，1）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0），即可求得c的值；將點(diǎn)A（1，0），代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0），即可用含a的代數(shù)式表示b；
（2）將點(diǎn)A（1，0）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a＞0），可得a+b+1=0，即b=-（a+1），二次函數(shù)與x軸交于不同的兩點(diǎn)，根據(jù)判別式可得a≠1，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，可得對(duì)稱(chēng)軸直線x=-

b

2a

＞1．從而得到a的取值范圍是：0＜a＜1；
（3）解方程：ax²-（a+1）x+1=0，得AB=

1-a

a

．把y=1代入y=ax²-（a+1）x+1，得CD=

a+1

a

．S₁-S₂=S_△PCD-S_△PAB=S_△ACD-S_△CAB，根據(jù)三角形面積公式代入計(jì)算即可求解．

解答：解：（1）將點(diǎn)C（0，1）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0），可得1=0+0+c，
解得，c=1；
將點(diǎn)A（1，0），代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0），可得a+b+1=0，
解得，b=-1-a；
故答案為：1；-1-a；

（2）將點(diǎn)A（1，0）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a＞0），可得a+b+1=0，即b=-（a+1），
∵二次函數(shù)與x軸交于不同的兩點(diǎn)，
∴△=b²-4ac=（a-1）²＞0，
∴a≠1，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，
∴對(duì)稱(chēng)軸直線x=-

b

2a

＞1．
∵a＞0，
∴2a+b＜0，
∴a＜1，
∴a的取值范圍是：0＜a＜1；

（3）解方程：ax²-（a+1）x+1=0，
得：x₁=1，x₂=

1

a

．
∴AB=

1-a

a

．
把y=1代入y=ax²-（a+1）x+1，得x₁=0，x₂=

a+1

a

．
∴CD=

a+1

a

．
∵S₁-S₂=S_△PCD-S_△PAB=S_△ACD-S_△CAB，
∴S₁-S₂=

1

2

×

a+1

a

×1-

1

2

×

1-a

a

×1=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：代入法的運(yùn)用，根與判別式的關(guān)系，對(duì)稱(chēng)軸公式，解方程，三角形面積計(jì)算，綜合性較強(qiáng)．