Question

如圖，拋物線y=ax²+2與y軸交于點A，拋物線上的一點P在第四象限，連接AP與x軸交于點C，若AC=PC，且S_△AOC=1，記點A關于x軸的對稱點為B．連結BP．
（1）求BP的長；
（2）求拋物線與x軸的交點坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）根據三角形的面積公式求得OC的長度；然后利用點A與點B關于x軸對稱求得OA=OB=2，則根據三角形中位線的性質求得BP=2OC；
（2）由（1）得出P點坐標，再利用待定系數法求出a的值，進而得出圖象與x軸交點坐標．

解答：解：（1）當x=0時，y=2，則OA=2．
∵S△AOC=

1

2

OC•OA=1，
∴OC=1．
∵A關于x軸的對稱點為B，
∴OA=OB=2，
∵AC=PC，
∴OC為△APB的中位線，
∴BP=2OC=2；

（2）∵OC為△APB的中位線，OA⊥OC，
∴PB⊥y軸，
∴點P的坐標為（2，-2），
∵點P（2，-2）在函數y=ax²+2的圖象上，
∴a=-1，
∴y=-x²+2．
當y=0時，-x²+2=0，
∴x1=

2

，x2=-

2

，
∴拋物線與x軸的交點坐標是（

2

，0），（-

2

，0 ）．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸交點求法以及相似三角形的判定與性質等知識，得出P點坐標是解題關鍵．