Question

如圖，已知AD∥EF∥BC，AD=2，BC=6，AE²=AB•EB，則EF=

 

．

Answer 1

考點：黃金分割,平行線分線段成比例

專題：計算題

分析：過D點作DH∥AB交BC于H，交EF于Q，如圖，易得四邊形AEQD和四邊形ABHD都是平行四邊形，則BH=EQ=AD=2，AE=DQ，DH=AB，得到CH=BC-BH=4，由于AE²=AB•EB，則E點為AB的黃金分割點，所以AE：AB=

5 -1

2

，即DQ：DH=

5 -1

2

，再利用平行線分線段成比例定理得到QF：HC=DQ：DH=

5 -1

2

，可計算出QF=2

5

-2，于是有EF=EQ+QF=2

5

．

解答：解：過D點作DH∥AB交BC于H，交EF于Q，如圖，
∵AD∥EF∥BH，
∴四邊形AEQD和四邊形ABHD都是平行四邊形，
∴BH=EQ=AD=2，AE=DQ，DH=AB，
∴CH=BC-BH=6-2=4，
∵AE²=AB•EB，
∴AE：AB=

5 -1

2

，
∴DQ：DH=

5 -1

2

，
∵QF∥CH，
∴QF：HC=DQ：DH=

5 -1

2

，
∴QF=

5 -1

2

HC=2

5

-2，
∴EF=EQ+QF=2

5

．
故答案為2

5

．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了平行線分線段成比例定理．