Question

7．如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，且四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是劣弧AD上一動(dòng)點(diǎn)，PB、PC分別與AD相交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．當(dāng)PA=AB且AE=EF=FD時(shí)，AE的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建矩形的對(duì)角線，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ABP=∠APB，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ACB=∠ACP，根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角得∠ABC=90°，AE=EF=FD得FC=2FD，∠DCF=30°，得出∠ACB=30°，求出BC的長(zhǎng)，則是AD的長(zhǎng)，再三等分即可．

解答 解：連接AC、BD，
∵PA=AB，
∴∠ABP=∠APB，
∵∠ABP=∠ACP，∠APB=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACP，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACP=∠DAC，
∴AF=FC，
∵AE=EF=FD，
設(shè)FD=x，則FC=AF=2x，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC為⊙O的直徑，
在Rt△DFC中，F(xiàn)C=2FD，
∴∠DCF=30°，
∴∠ACB=∠ACP=30°，
∵⊙O的半徑為1，
∴AC=2，
∴AB=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴AD=BC=$\sqrt{3}$，
∵AE=EF=FD，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是有關(guān)圓的計(jì)算題，考查了矩形，等邊三角形的性質(zhì)及圓周角、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，熟練掌握矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且平分；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．