Question

19．根據(jù)題意解答：
（1）如圖 1，點(diǎn)A、C、F、B在同一直線上，CD平分∠ECB，F(xiàn)G∥CD，若∠ECA為α度，求∠GFB的度數(shù)（用關(guān)于a的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，某停車(chē)場(chǎng)入口大門(mén)的欄桿如圖所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1+∠2的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若∠3=40°，∠5=50°，∠7=80°，則∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=170度．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)平角定義表示∠ECB=180°-α，由角平分線定義得：∠DCB=90°-$\frac{1}{2}$α，最后根據(jù)平行線性質(zhì)得結(jié)論；
（2）作平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得：∠BAE=∠ABH=90°和∠1+∠CBH=180°，所以∠1+∠2=∠1+∠CBH+∠ABH=270°；
（3）作輔助線，根據(jù)外角定理和四邊形的內(nèi)角和360°列式后可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵∠ACE=α，
∴∠ECB=180°-α，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ECB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB=90°-$\frac{1}{2}$α；
（2）如圖2，過(guò)B作BH∥AE，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=∠ABH=90°，
∵CD∥AE，
∴BH∥CD，
∴∠1+∠CBH=180°，
∴∠1+∠2=∠1+∠CBH+∠ABH=180°+90°=270°；
（3）延長(zhǎng)圖中線段，構(gòu)建如圖所示的三角形和四邊形，
由外角定理得：∠9=∠1+∠2，
∠BAC=∠9+∠8=∠1+∠2+∠8，
∵∠5=50°，∠7=80°，
∴∠6+∠GDH=130°，
∵∠3=40°，
∴∠AFE=140°，
∵∠BAC+∠4+180°-∠GDH+140°=360°，
∴∠BAC+∠4-∠GDH=40°，
∴∠1+∠2+∠4+∠8-130°+∠6=40°，
∴∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=170°，
故答案為為：170．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)妮o助線是本題的關(guān)鍵；熟練掌握外角定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，知道四邊形的內(nèi)角和為360°；本題還可以分別過(guò)F、E、G、P、H作BQ的平行線，根據(jù)平行線得內(nèi)錯(cuò)角相等和外角定理得出∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=∠3+∠5+∠7，從而且得出結(jié)論．