Question

7．已知：△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．
（1）如圖1，求證：$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；
（2）如圖2，若AB=13，BC=10，F(xiàn)為半圓的中點(diǎn)，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由圓周角定理得出∠ADC=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAD=∠EAD，即可得出結(jié)論$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；
（2）連接AF、CF，作FG⊥BC于G，由圓周角定理得出∠AFC=90°，證出△AFC是等腰直角三角形，由勾股定理得出CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，證出△DFG是等腰直角三角形，得出FG=DG，DF=$\sqrt{2}$FG，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，設(shè)FG=x，得出CG=x-5，在Rt△CFG中，由勾股定理得出方程，解方程求出FG=8.5，即可得出DF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接AD，如圖1所示：
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠EAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；
（2）解：連接AF、CF，作FG⊥BC于G，如圖2所示：
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AFC=90°，
∵F為半圓的中點(diǎn)，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，∠FDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FG=DG，DF=$\sqrt{2}$FG，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
設(shè)FG=x，
∴CG=x-5，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：x²+（x-5）²=（$\frac{13\sqrt{2}}{2}$）²，
解得：x=8.5，或x=-3.5（舍去），
∴FG=8.5，
∴DF=8.5×$\sqrt{2}$=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓心角、弧、弦的關(guān)系、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．