Question

17．已知：如圖，BA與⊙O相切于點A，連接OB交⊙O于點C．
（1）如圖1，若∠ABO=30°，求證：BC=OC；
（2）如圖2，若BC：OC=2：3，求∠ABO的正切值；
（3）如圖3，在（2）的條件下，BD與⊙O相切于點D，連接OD，過點A作AE∥OD交⊙O于點E，連接DE交OB于點L．若BD=8，求DL的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形30度角性質(zhì)，可知BO=2OA，由此即可證明．
（2）如圖2中，連接OA，設BC=2a，OC=3a，利用勾股定理求出AB，根據(jù)tan∠OBA=$\frac{OB}{AB}$，即可解決問題．
（3）首先證明DL=AM，求出DO、OB、DM，再根據(jù)△DOB∽△AMD，$\frac{AM}{DO}$=$\frac{DM}{OB}$即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接AC、OA．

∵AB是⊙O切線，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=30°，
∴OB=2AO，
∵OB=OC+BC，
∴BC=CO．

（2）如圖2中，連接OA，設BC=2a，OC=3a，

∵AB是⊙O切線，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
在Rt△AOB中，∵∠OAB=90°，BO=5a，OA=3a，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{（5a）^{2}-（3a）^{2}}$=4a，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{BA}$=$\frac{3a}{4a}$=$\frac{3}{4}$．

（3）如圖3中，連接AD、延長DO交⊙O于M，連接AM．

∵AL∥DM，
∴∠DAL=∠ADM，
∴$\widehat{DL}$=$\widehat{AM}$，
∴DL=AM，
∵BD、BA是⊙O切線，
∴∠OBD=∠OBA，BD=AB=8，∠ODB=90°，
∵tan∠OBD=tan∠OBA=$\frac{3}{4}$，
∴DO=6，BO=$\sqrt{B{D}^{2}+D{O}^{2}}$=10，
∵DM是直徑，
∴∠DAM=∠ODB=90°，
∵OB⊥AD，MA⊥AD，
∴OB∥AM，
∴∠BOD=∠M，
∴△DOB∽△AMD，
∴$\frac{AM}{DO}$=$\frac{DM}{OB}$
∴$\frac{AM}{6}$=$\frac{12}{10}$，
∴AM=$\frac{36}{5}$，
∴DL=AM=$\frac{36}{5}$．

點評 本題考查圓的綜合題、直角三角形30度角性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．