Question

7．如圖，已知△ABC
（1）用直尺和圓規(guī)作出⊙O，使⊙O經(jīng)過A，C兩點，且圓心O在AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若AB=$\sqrt{2}$，BC=2-$\sqrt{2}$，∠B=45°，求出（1）中⊙O的半徑R的值．

Answer 1

分析 （1）作AC的垂直平分線，則此垂直平分線與AB的交點為O，然后以O點為圓心，OA為半徑作⊙O即可；
（2）作CH⊥AB于H，連結OC，先判斷△BCH為等腰直角三角形，則BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{2}$-1，所以AH=AB-BH=1，OH=AH-OA=1-R，然后在Rt△OCH中根據(jù)勾股定理得到（1-R）²+（$\sqrt{2}$-1）²=R²，再解方程即可．

解答 解：（1）如圖，⊙為所求；

（2）作CH⊥AB于H，連結OC，如圖，

在Rt△BCH中，∵∠B=45°，
∴△BCH為等腰直角三角形，
∴BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴AH=AB-BH=$\sqrt{2}$-（$\sqrt{2}$-1）=1，
∴OH=AH-OA=1-R，
在Rt△OCH中，∵OH²+CH²=OC²，
∴（1-R）²+（$\sqrt{2}$-1）²=R²，
∴R=2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．