Question

12．如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$），過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)A，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于點(diǎn)N；作PM⊥AN交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于點(diǎn)M，連接AM．已知PN=4．
（1）求k的值；
（2）求△APM的面積；
（3）求當(dāng)x＞1時(shí)函數(shù)y的取值范圍（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）由“AN∥x軸，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$），且PN=4”可得出點(diǎn)A、點(diǎn)N的坐標(biāo)，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入到雙曲線的解析式中得到關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可求出k值；
（2）由（1）的k值可知雙曲線的解析式，令x=2，可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合A、P、M三點(diǎn)的坐標(biāo)以及三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）令x=1，求出y的值，根據(jù)雙曲線函數(shù)在x＞0時(shí)的單調(diào)性即可得出當(dāng)x＞1時(shí)函數(shù)y的取值范圍．

解答 解：（1）∵AN∥x軸，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$），且PN=4，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，$\frac{3}{2}$），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{2}$）．
將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入到雙曲線y=$\frac{k}{x}$中得：
$\frac{3}{2}$=$\frac{k}{6}$，解得：k=9．
（2）雙曲線的解析式為y=$\frac{9}{x}$（x＞0），
令x=2，則y=$\frac{9}{2}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，$\frac{9}{2}$）．
∵點(diǎn)A（0，$\frac{3}{2}$），點(diǎn)P（2，$\frac{3}{2}$），
∴AP=2-0=2，MP=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$=3，
△APM的面積S=$\frac{1}{2}$AP•MP=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
（3）令x=1，y=9，
由函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)x＞1時(shí)，y＜9．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點(diǎn)N的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)A、點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性解決問題．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)再由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．