Question

4．如圖，在?ABCD中，點E在BC上，AE平分∠BAD，且AB=AE，連接DE并延長與AB的延長線交于點F，連接CF，若AB=1cm，則△CEF面積是$\frac{\sqrt{3}}{4}$cm²．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠BAE=∠BEA，得出AB=BE=AE，所以△ABE是等邊三角形，由AB的長，可求出△ABE的面積，再根據(jù)△FCD與△ABC等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），可得S_△FCD=S_△ABC，又因為△AEC與△DEC同底等高，所以S_△AEC=S_△DEC，即S_△ABE=S_△CEF問題得解．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等邊三角形，
∵AB=1cm，
∴△ABE的面積=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$cm²，
∵△FCD與△ABC等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），
∴S_△FCD=S_△ABC，
又∵△AEC與△DEC同底等高，
∴S_△AEC=S_△DEC，
∴S_△ABE=S_△CEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$cm²．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積關(guān)系，解題的關(guān)鍵是首先證明△ABE是等邊三角形，求△CEF的面積轉(zhuǎn)化為求△ABE的面積．