Question

13．如圖1，等腰直角三角形OAB的斜邊OB在x軸上，點(diǎn)A在第四象限，B（10，0），拋物線經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，且與直線y=-$\frac{1}{3}$x交于點(diǎn)O和點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)P（t，0）是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線y=-$\frac{1}{3}$x于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，以EF為一邊，在EF的右側(cè)作矩形EFGH，且FG=2．
①當(dāng)矩形EFGH的面積隨著t的增大而增大時(shí)，求t的取值范圍；
②當(dāng)矩形EFGH與△OAB有重疊，且重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把拋物線整理成頂點(diǎn)式形式并求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，令y=0，解方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，然后利用方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可．
（2）①分兩種情形，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，分別構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
②分三種情形，矩形EFGH為正方形時(shí)，根據(jù)拋物線和直線解析式表示出EF，再根據(jù)EF=FG列出方程求解即可；點(diǎn)H在AB上時(shí)，求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可；矩形EFGH關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可解決．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)（10，0），△ABO是等腰直角三角形，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（5，-5），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-5）²-5，把B（10，0）代入得a=$\frac{1}{5}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{5}$（x-5）²-5，即y=$\frac{1}{5}$x²-2x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{3}}\\{y=-\frac{25}{9}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（$\frac{25}{3}$，-$\frac{25}{9}$）．

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，EF=-$\frac{1}{3}$t-（$\frac{1}{5}$t²-2t）=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{5}{3}$t，
∵-$\frac{1}{5}$＜0，
∴當(dāng)0＜t≤$\frac{25}{6}$時(shí)，EF隨t的增大而增大，此時(shí)矩形EFGH的面積隨著t的增大而增大．
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，EF=（$\frac{1}{5}$t²-2t）-（-$\frac{1}{3}$t）=$\frac{1}{5}$t²-$\frac{5}{3}$t，
∵$\frac{1}{5}$＞0，
∴t≥$\frac{25}{6}$時(shí)，EFEF隨t的增大而增大，
∵E在點(diǎn)C右側(cè)，點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)）
∴$\frac{25}{3}$＜t＜10時(shí)，EF隨t的增大而增大，此時(shí)矩形EFGH的面積隨著t的增大而增大．
綜上所述，0＜t≤$\frac{25}{6}$或$\frac{25}{3}$＜t＜10時(shí)，矩形EFGH的面積隨著t的增大而增大．

②如圖1中，矩形EFGH為正方形時(shí)，

∵EF=FG，
∴-$\frac{1}{3}$t-（$\frac{1}{5}$t²-2t）=2，
解得t=$\frac{25-\sqrt{265}}{6}$或$\frac{25+\sqrt{265}}{6}$（舍棄），

如圖2中，點(diǎn)H在AB上時(shí)，

設(shè)直線y=-$\frac{1}{3}$x與直線AB相交于點(diǎn)N，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=x-10}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{2}}\\{y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)（$\frac{15}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
∵PE∥y軸，四邊形EFGH為矩形，
∴EH∥x軸，
∴△NHE∽△NBO，
∴$\frac{NE}{ON}$=$\frac{EH}{OB}$=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（6，-2），
∴6≤t＜$\frac{15}{2}$時(shí)，重疊部分是軸對(duì)稱圖形．

如圖3中，矩形EFGH關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)t=5-1=4，
綜上所述t=4或$\frac{25-\sqrt{265}}{6}$或6≤t＜$\frac{15}{2}$時(shí)，重疊部分是軸對(duì)稱圖形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于要根據(jù)矩形EFGH的位置分情況討論，屬于中考?jí)狠S題．