Question

如圖1，△ABC中，AC=8

2

，∠ACB=45°，tanB=4．過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，與過(guò)C且垂直于BC的直線交于點(diǎn)D．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，交折線BA-AD于點(diǎn)E，以PE為斜邊向右作等腰直角三角形PEF，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)F恰好落在CD上時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（2）若P與C重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等腰直角三角形PEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，在點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，BC上另一點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)Q作QM⊥BC交射線CA于點(diǎn)M，以QM為斜邊向左作等腰直角三角形QMN．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一直線上，求此刻t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)F落在CD上時(shí)，如答圖1所示，可知△DEF、△PCF均為等腰直角三角形，利用幾何圖形性質(zhì)求出t的值；
（2）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可分為三種情形，分別如答圖2-1，答圖2-2，答圖2-3所示，需要分類討論，分別求解；
（3）點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，滿足題意條件的有三種情形，分別如答圖3-1，答圖3-2，答圖3-3所示，需要分類討論，分別求解．

解答：解：（1）由題意可知，△ACD為等腰直角三角形，
∴AD=CD=

2

2

AC=

2

2

×8

2

=8．
如答圖1，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則△ACG為等腰直角三角形．
∴AG=CG=

2

2

AC=

2

2

×8

2

=8．
在Rt△ABG中，BG=

AG

tanB

=

8

4

=2，
∴BC=BG+CG=2+8=10．

當(dāng)點(diǎn)F落在CD上時(shí)，可知△DEF、△PCF均為等腰直角三角形，
∴DE=DF=

2

2

EF，PC=CF=

2

2

PF．
∵△PEF為等腰直角三角形，EF=PF，
∴PC=CF=DF=

1

2

CD=4，
∴BP=BC-PC=10-4=6．
∴當(dāng)點(diǎn)F恰好落在CD上時(shí)，t=6s．

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
①當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如答圖2-1所示．
PE=BP•tanB=4t，
S=

1

4

PE²=

1

4

（4t）²=4t²；

②當(dāng)2≤t＜6時(shí)，如答圖2-2所示．
S=

1

4

PE²=

1

4

×（8）²=16；
③當(dāng)6≤t≤10時(shí)，如答圖2-3所示．
設(shè)EF、PF分別與CD交于點(diǎn)K、J，易知△DEK、△PCJ均為等腰直角三角形，
∴DK=CJ=PC=10-t，
KJ=CD-DK-CJ=8-2（10-t）=2t-12，
∴S=

1

2

（KJ+PE）•PC=

1

2

（2t-12+8）（10-t）=-t²+12t-20．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

4t2(0≤t＜2) 16(2≤t＜6) -t2+12t-20(6≤t≤10)

．

（3）在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
①當(dāng)EF與NQ落在同一直線上時(shí)，如答圖3-1所示．
此時(shí)，△PEQ為等腰直角三角形，則PQ=PE=4t．
∴BC=BP+PQ+CQ=t+4t+2t=10，
∴t=

10

7

s；

②當(dāng)PF與MN落在同一直線上時(shí)，如答圖3-2所示．
此時(shí)，△PQF為等腰直角三角形，則PQ=QF=CQ=2t．
∴BC=BP+PQ+CQ=t+2t+2t=10，
∴t=2s；
③當(dāng)PE與QM落在同一直線上時(shí)，如答圖3-3所示．
∴BC=BP+CQ=t+2t=10，
∴t=

10

3

s．
綜上所述，滿足條件的t的值為：

10

7

或2或

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型幾何綜合題，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題關(guān)鍵是深刻理解圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．