Question

2．如圖，在直角三角形△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6，D為BC上一點(diǎn)，射線(xiàn)DG⊥BC交AB于點(diǎn)G，CD=2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)DG運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，得到矩形PECF，點(diǎn)M為點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，以QM為直角邊，在射線(xiàn)DG的右側(cè)作直角△QMN，使QN=2QM．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）當(dāng)QN=PF時(shí)，求t的值；
（2）連接PN、ND、PD，是否存在這樣的t值，使△PND為直角三角形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)△QMN和矩形PECF有重疊部分時(shí)，直接寫(xiě)出重疊部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得QN=2QM=4t，再由AE的長(zhǎng)度可得PF的長(zhǎng)度，根據(jù)QN=PF，可得t的值．
（2）分別表示出PN、ND、PD，分三種情況討論，再由勾股定理，可得t的值．
（3）首先應(yīng)明確各節(jié)點(diǎn)重疊圖形的變化，可畫(huà)出示意圖，根據(jù)重疊圖形的形狀表示重疊部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，也可得出相應(yīng)自變量t的取值范圍．

解答 解：（1）∵QN=2QM=4t，AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{5}$t=t，
∴PF=CE=3-t，
∴4t=3-t，
解得：t=$\frac{3}{5}$．

（2）DN²=DQ²+QN²=（2t）²+（4t）²=20t²，
PD²=DF²+PF²=（2-2t）²+（3-t）²=5t²-14t+13，
PN²=HN²+PH²=[4t-（2-2t）]²+（3-t-2t）²=45t²-42t+13，
①當(dāng)∠PND=90°時(shí)，20t²+45t²-42t+13=5t²-14t+13，
解得：t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{15}$；
②當(dāng)∠PDN=90°時(shí)，20t²+（5t²-14t+13）=45t²-42t+13，
解得：t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{5}$，
③當(dāng)∠PDN=90°時(shí)，（5t²-14t+13）+（45t²-42t+13）=20t²，
解得：t₁=1，t₂=$\frac{13}{15}$，
綜上可得：t=$\frac{7}{15}$或$\frac{7}{5}$或1或$\frac{13}{15}$．
（3）①當(dāng)$\frac{1}{3}$＜t≤$\frac{1}{2}$時(shí)，如圖所示：
HN=4t-（2-2t）=6t-2，KH=$\frac{1}{2}$HN=3t-1，
∴S=$\frac{1}{2}$（6t-2）（3t-1）=9t2-6t+1；
②$\frac{1}{2}$≤t＜$\frac{2}{3}$時(shí)，S=5t²-2t；
③當(dāng)$\frac{2}{3}$≤t＜$\frac{4}{5}$時(shí)，S=-31t²+46t-16；
④當(dāng)$\frac{4}{5}$≤t＜1時(shí)，S=-6t²+6t．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的綜合，第二問(wèn)的關(guān)鍵是分類(lèi)討論利用勾股定理求解，第三問(wèn)的難點(diǎn)在于判斷重疊圖形變化的節(jié)點(diǎn)，根據(jù)重疊圖形的形狀得出S與t的關(guān)系式，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，難度較大．