Question

13．關于x的一元二次方程ax²-2ax+a-2=0．
（1）若方程有兩實數根，求a的范圍．
（2）設方程兩實根分別為x₁，x₂，且（x₁-x₂）²=16，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次方程的定義以及判別式的意義得到a≠0且△=4a²-4a（a-2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a-2}{a}$，由（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，整體代入得到關于a的方程，解方程即可得到結論．

解答 解：（1）根據題意得a≠0，且△=4a²-4a（a-2）≥0，
解得a＞0，
故實數a的取值范圍是a＞0；

（2）根據題意得x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a-2}{a}$，
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，
∴4-4×$\frac{a-2}{a}$=16，
解得：a=$\frac{1}{2}$，符合題意．
故a的值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．