Question

11．概念學(xué)習(xí)
已知△ABC，點P為其內(nèi)部一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形，其內(nèi)角與△ABC的三個內(nèi)角分別相等，那么就稱點P為△ABC的等角點．
理解應(yīng)用
（1）判斷以下兩個命題是否為真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫“真”；反之，則寫“假”
①內(nèi)角分別為30、60、90的三角形存在等角點；真
②任意的三角形都存在等角點．假
（2）探究圖①中∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
解決問題
如圖②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三個內(nèi)角的角平分線的交點P是該三角形的等角點．求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等角點的定義，可知內(nèi)角分別為30、60、90的三角形存在等角點，而等邊三角形不存在等角點，據(jù)此判斷即可；
（2）根據(jù)△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC進行推導(dǎo)，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）先連接PB，PC，再根據(jù)△ABC的三個內(nèi)角的角平分線的交點P是該三角形的等角點，以及三角形內(nèi)角和為180°，得出關(guān)于∠A的方程，求得∠A的度數(shù)即得出可三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．

解答 解：（1）①內(nèi)角分別為30、60、90的三角形存在等角點是真命題；
②任意的三角形都存在等角點是假命題，如等邊三角形不存在等角點；
故答案為：真，假；

（2）如圖①，∵在△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC=∠PBC，
∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP；

（3）如圖②，連接PB，PC
∵P為△ABC的角平分線的交點，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵P為△ABC的等角點，
∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC，∠ACB=∠BPC=4∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=$\frac{180°}{7}$，
∴該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別為$\frac{180°}{7}$，$\frac{360°}{7}$，$\frac{720°}{7}$．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是理清等角點的定義，根據(jù)等角點的定義以及三角形的內(nèi)角和為180°，得出角的關(guān)系式并進行求解．