Question

10．等腰△ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點(diǎn)，E為底邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E分別向AB，AC作垂線段垂足F，G．連DF，DG．證明：DF=DG，∠EFD=∠EGD，∠FDG=∠FEG=180°-∠A．

Answer 1

分析 ①作輔助線，構(gòu)建垂線段，證明四邊形EFMN是矩形和四邊形HDPG是矩形，得EN=FM，DH=GP，再證明
△END≌△DHE，則EN=DH，所以FM=GP，根據(jù)角平分線性質(zhì)和等腰三角形三線合一得：DM=DP，所以
△FMD≌△GPD，則DF=DG；
②根據(jù)三角形全等和平行線性質(zhì)得結(jié)論；
③利用四邊形內(nèi)角和為360°和垂直定義得：∠BAC+∠FEG=180°，變形后可得結(jié)論．

解答 證明：①過(guò)D作DM⊥AB于M，作DP⊥AC于P，過(guò)E作EN⊥DM于N，過(guò)D作DH⊥EG于H，
∵EF⊥AB，
∴∠EFM=∠FMN=∠MNE=90°，
∴四邊形EFMN是矩形，
∴EN=FM，
同理得：四邊形HDPG是矩形，
∴DH=PG，
∵EN∥AB，DH∥AC，
∴∠NED=∠B，∠HDE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠NED=∠HDE，
∵∠END=∠EHD=90°，ED=DE，
∴△END≌△DHE，
∴EN=DH，
∴FM=PG，
連接AD，
∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD平分∠BAC，
∴DM=DP，
∴∠FMD=∠DPG=90°，
∴△FMD≌△GPD，
∴DF=DG；
②∵△FMD≌△GPD，
∴∠FDM=∠GDP，
∵EF∥DM，DP∥EG，
∴∠EFD=∠FDM，∠GDP=∠EGD，
∴∠EFD=∠EGD；
③設(shè)DF與EG交于點(diǎn)O，
∵∠EFD=∠EGD，∠FOE=∠DOG，
∴∠FEG=∠FDG，
∵EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，
∴∠BAC+∠FEG=180°，
∴∠FEG=180°-∠BAC，
∴∠FDG=∠FEG=180°-∠BAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的高線和全等三角形的性質(zhì)和判定，還考查了角平分線的性質(zhì)；此題是根據(jù)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離和等于腰上的高引申出來(lái)的題型，因此本題構(gòu)建輔助線尤為重要；過(guò)底邊的中點(diǎn)作兩腰的垂線段，構(gòu)建全等三角形，從而使問(wèn)題得以解決．