Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸下方的拋物線y=ax²+bx+c上有一點G，使得∠GAB=∠BCD，求點G的坐標；
（3）設(shè)△ABD的外接圓為⊙E，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是⊙E上異于A、B的任意一點，直線AP交l于點M，連接EM、PB．求tan∠MEB•tan∠PBA的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接將A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c建立方程組，求出a、b、c的值就可以求出結(jié)論；
（2）如圖2，過點G作GF⊥x軸，垂足為F．設(shè)點G坐標為（m，m²-4m+3），由拋物線的解析式就可以求出D的坐標，由勾股定理的逆定理就可以求出△BDC是直角三角形，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（3）如圖3，由條件可以求得△ADB為等腰直角三角形，就可以求出E的坐標．設(shè)P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x軸，F(xiàn)為垂足．就可以得出△AFP∽△ABM，就可以表示出y₀的值，由直角三角形的性質(zhì)就可以表示出tan∠MEB和tan∠PBA的值而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C，可得：

c=3 a+b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
（2）過點G作GF⊥x軸，垂足為F．設(shè)點G坐標為（m，m²-4m+3），
∵y=x²-4x+3；
∴y=（x-2）²-1
∴點D（2，-1）．
∵B（3，0），C（0，3），
∴由勾股定理得：
CD=2

5

，BD=

2

，BC=3

2

，
∴CD²=20，BD²=2，BC²=18
∴CD²=BC²+BD²，
∴△CBD是直角三角形，
∴tan∠GAF=tan∠BCD=

1

3

．
∵tan∠GAF=

GF

AF

=

1

3

，
∴AF=3GF，
∴-3（m²-4m+3）=m-1，
解得：m₁=1（舍去），m₂=

8

3

．
∴點G的坐標為（

8

3

，-

5

9

）；
（3）∵A（1，0）、B（3，0）且點D的坐標為（2，-1），
∴由勾股定理，得
AD²=2，BD²=2．AB²=4，
∴AB²=AD²+BD²，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴圓心E是線段AB的中點，即E（2，0），半徑為1．
設(shè)P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x軸，F(xiàn)為垂足．
∵MB⊥x軸，
∴PF∥MB．
∴△AFP∽△ABM，
∴

|y0|

|y1|

=

2

x1-1

，
∴y₀=

2|y1|

x1-1

．
∴tan∠MEB=

|y0|

EB

=

2|y1|

x1-1

．
∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠PBA=∠APF，
∴tan∠PBA=tan∠APF=

x1-1

|y1|

，
∴tan∠MEB•tan∠PBA=

2|y1|

x1-1

•

x1-1

|y1|

=2．
答：tan∠MEB•tan∠PBA的值為2．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，二次函數(shù)的頂點式的運用，相似三角形的判斷及性質(zhì)的運用，勾股定理及其逆定理的運用，圓周角定理的運用，三角函數(shù)值的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，運用圓周角的性質(zhì)是難點．