Question

已知，如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．
（1）四邊形EFGH的形狀是

 

，證明你的結(jié)論．
（2）連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD，當(dāng)AC與BD滿足

 

條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=

1

2

BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

解答：解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：
如圖，連結(jié)BD．
∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD，
同理FG∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足互相垂直的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下：
如圖，連結(jié)AC、BD．
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是矩形；
故答案為：平行四邊形，對(duì)角線滿足互相垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關(guān)鍵．