Question

15．若實數(shù)x，y滿足（x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$）=2016．
（1）求x，y之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）求3x²-2y²+3x-3y-2017的值．

Answer 1

分析 （1）將式子變形后，再分母有理化得①式：x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=y+$\sqrt{{y}^{2}-2016}$，同理得②式：x+$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$，將兩式相加可得結(jié)論；
（2）將x=y代入原式或①式得：x²=2016，代入所求式子即可．

解答 解：（1）∵（x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$）=2016，
∴x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=$\frac{2016}{y-\sqrt{{y}^{2}-2016}}$=$\frac{2016（y+\sqrt{{y}^{2}-2016}）}{{y}^{2}-（{y}^{2}-2016）}$=y+$\sqrt{{y}^{2}-2016}$①，
同理得：x+$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=y-$\sqrt{{y}^{2}-2016}$②，
①+②得：2x=2y，
∴x=y，
（2）把x=y代入①得：x-$\sqrt{{x}^{2}-2016}$=x+$\sqrt{{x}^{2}-2016}$，
x²=2016，
則3x²-2y²+3x-3y-2017，
=3x²-2x²+3x-3x-2017，
=x²-2017，
=2016-2017，
=-1．

點評 本題是二次根式的化簡和求值，有難度，考查了二次根式的性質(zhì)和分母有理化；二次根式中分母中含有根式時常運用分母有理化來解決，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．本題利用巧解將已知式變成兩式，相加后得出結(jié)論．