Question

1．已知，在平面直角坐標系中，A（m-2，a），B（m+2，b），且有理數(shù)a，b滿足a+2+$\sqrt{2}$b=4$\sqrt{2}$+b．
（1）試求出a，b的值，并直接寫出以AB為對角線的平行四邊形AOBC的第四頂點C的縱坐標；
（2）若△AOB的面積為9，求m的值；
（3）若直線AB與x軸交于點D，當線段AB平移時，△ABC的面積：△AOD的面積是否是定值？若是定值，請求出該值，并說明理由；若不是，請指出它的范圍．

Answer 1

分析 （1）首先將原式變形為a+2-b+（b-4）$\sqrt{2}$=0，然后依據(jù)a，b是有理數(shù)可求得a、b的值，然后依據(jù)兩點間的距離公式可求得點C的縱坐標；
（2）過點A作AC∥x軸，交OB與點C，作BD⊥AC，垂足為D．先求得點C的坐標，然后再求得AC的長，最后依據(jù)△AOB的面積為9列方程組求解即可．
（3）作AF∥x軸，BE∥x軸．將△ABC的面積：△AOD的面積的比值可轉(zhuǎn)化為AB：AD的比值，然后依據(jù)平行線分線段成比例定理可得到AB：AD=FE：OF=1：1，故此可得到問題的答案．

解答 解：（1）∵a+2+$\sqrt{2}$b=4$\sqrt{2}$+b，
∴a+2-b+（b-4）$\sqrt{2}$=0．
∵a，b是有理數(shù)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{a+2=b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴A（m-2，2），B（m+2，4）．
設點C的縱坐標為a，依據(jù)兩點間的距離公式可得到：$\frac{a+0}{2}$=$\frac{2+4}{2}$，解得：a=6．
∴點C的縱坐標為6．

（2）如圖1所示：過點A作AC∥x軸，作BD⊥AC，垂足為D．

∵AC∥x軸，
∴點C的縱坐標為2．
設直線BC的解析式為y=kx，將點B的坐標代入得：（m+2）k=4，解得k=$\frac{4}{m+2}$，
∴直線OB的解析式為y=$\frac{4}{m+2}$x．
將y=2代入得：$\frac{4}{m+2}$x=2，解得：x=$\frac{m+1}{2}$．
∴C（$\frac{m+1}{2}$，2）．
∴AC=$\frac{m+1}{2}$-（m-2）=$\frac{6-m}{2}$．
∵△AOB的面積為9，
∴$\frac{1}{2}$×4×|$\frac{6-m}{2}$|=9，解得m=-3或m=15．

（3）是定值．
如圖2所示：作AF∥x軸，BE∥x軸．

∵四邊形OACB為平行四邊形，
∴△ABC的面積=△ABO的面積．
∴△ABC的面積：△AOD的面積=△ABO的面積：△AOD的面積=AB：AD．
∵BE∥AF∥OD，
∴AB：AD=FE：OF=1：1．
∴△ABC的面積：△AOD的面積=1：1．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的面積公式、待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．