Question

4．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)∠A=30°且點(diǎn)M、N分別在線(xiàn)段AB、BC上時(shí)，∠MPN=90°，請(qǐng)?jiān)趫D1中將圖形補(bǔ)充完整，并且直接寫(xiě)出PM與PN的比值；
（2）當(dāng)∠A=23°且點(diǎn)M、N分別在線(xiàn)段AB、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中的其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出PM與PN比值的思路．

Answer 1

分析 （1）補(bǔ)充圖形如圖1所示，過(guò)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，得到四邊形PEBF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到PE∥BC，PF∥AB，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得到PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F，由PF⊥BC和∠ABC=90°可以得到AB∥PF，∠PFC=90°進(jìn)而得到∠A=∠FPC；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=PF；根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）補(bǔ)充圖形如圖1所示，過(guò)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形PEBF是矩形，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∵P是AC的中點(diǎn)，
∴PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠A=30°，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
∴△PEM∽△PFN，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）思路：在Rt△ABC中，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F，
由PF⊥BC和∠ABC=90°可以得到AB∥PF，∠PFC=90°進(jìn)而得到
∠A=∠FPC；由∠PFC=∠AEP=90°，AP=PC可以得到
△AEP≌△PFC，進(jìn)而推出AE=PF；
由點(diǎn)P處的兩個(gè)直角可以得到∠EPM=∠FPN，
進(jìn)而可以得到△MEP∽△NPF，由此可以得到$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PN}{PM}$
等量代換可以得到$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{AE}$；在Rt△AEP中$tan∠A=\frac{PE}{AE}$，可以得到$\frac{PM}{PN}=tan23°$．
解：點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F，
則四邊形PEBF是矩形，
∴PF∥AB，∠EPF=90°，
∴∠A=∠CPF=23°，
在△AEP與△PFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CPF}\\{∠AEP=∠PFC}\\{AP=PC}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△PFC，
∴AE=PF，
∵∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∴△MEP∽△NPF，
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{PN}{PM}$，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{AE}$，
∵tan∠A=$\frac{PE}{AE}$，
∴$\frac{PM}{PN}$=tan23°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．