Question

6．如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，-3）．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)M是（1）中拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的上方，試求△ACM的最大面積以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）代入A，C兩點(diǎn)，列出方程，解得a，b即可；
（2）設(shè)M（a，-a²+4a-3），求出直線直線AC的解析式為：y=1-x，過M作x軸的垂線交AC于N，則N（a，1-a），即有三角形ACM的面積為△AMN和△CMN的面積之和，化簡運(yùn)用二次函數(shù)的最值，即可得到；
（3）討論當(dāng)∠ACP=90°，當(dāng)∠CAP=90°，運(yùn)用直線方程和拋物線方程求交點(diǎn)即可．

解答 解：（1）由于A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，-3），
則a+b-3=0，且16a+4b-3=-3，
解得，a=-1，b=4，
即拋物線的解析式為：y=-x²+4x-3；
（2）設(shè)M（a，-a²+4a-3），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=1-x，
過M作x軸的垂線交AC于N，
如圖所示：則N（a，1-a），
即有三角形ACM的面積為△AMN與△CMN的面積之和，即為
$\frac{1}{2}$（a-1+4-a）（-a²+4a-3-1+a）
=$\frac{3}{2}$（-a²+5a-4），
當(dāng)a=$\frac{5}{2}$時(shí)，面積取得最大，且為$\frac{27}{8}$，
此時(shí)M（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
（3）存在，理由如下：
當(dāng)∠ACP=90°，即有此時(shí)CP：y=x-7，
由CP解析式和拋物線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-7}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-3}\end{array}\right.$（不合題意舍去），
∴P（-1，-8）；
當(dāng)∠CAP=90°，由AC的斜率為-1，即有AP的斜率為1，
此時(shí)AP：y=x-1，
由AP解析式和拋物線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={-x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，（不合題意舍去），
∴P（2，1）．
故存在點(diǎn)P，且為（-1，-8）或（2，1），使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)解析式的求法、一次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)的最值、三角形面積的計(jì)算、解方程和方程組等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（3）中，需要通過求出直線的解析式，并通過解由直線和拋物線解析式組成的方程組才能得出結(jié)果．