Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形ABCD如圖1放置，點(diǎn)A，B都在x軸正半軸上，點(diǎn)D（5，3），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)解析式；
（2）如圖2，以D為頂點(diǎn)作正方形DEFG，使點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在x軸正半軸和y軸正半軸上．
①記DE的中點(diǎn)為H，判斷點(diǎn)H是否在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，并說(shuō)明理由；
②若P為反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上一點(diǎn)，Q為x軸上一點(diǎn)，以E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形恰好是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)正方形的性質(zhì)可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），從而可求得k的值，于是可得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）①先證明△EFO≌△DEA，由全等三角形的性質(zhì)可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可；②由△EFO≌△DEA可求得點(diǎn)E（3，0）、F（0，2），當(dāng)EF為平行四邊形的邊時(shí)，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為2或-2，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后依據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等、交線互相平分從而可求得Q的坐標(biāo)當(dāng)EF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可先確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后依據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可求得QE=3，從而可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，3），四邊形ABCD為正方形，
∴AD=3，CD=3．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3）．
∴k=2×3=6．
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{6}{x}$．
（2）①∵四邊形DEFG為正方形，
∴∠FED=90°，EF=DE．
∴∠FEO+∠DEA=90°．
又∵∠FEO+∠OFE=90°，
∴∠OFE=∠DEA．
在△EFO和△DEA中$\left\{\begin{array}{l}{∠EFO=∠DEA}\\{∠FOE=∠EAD}\\{EF=ED}\end{array}\right.$，
∴△EFO≌△DEA．
∴AD=OE=3，OF=EA=2．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0）．
由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4，$\frac{3}{2}$）．
∵4×$\frac{3}{2}$=6，
∴點(diǎn)H在反比例函數(shù)的圖象上．
②∵△EFO≌△DEA．
∴AD=OE=3，OF=EA=2．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0）、F（0，2）．
當(dāng)EF為平行四邊形的邊時(shí)，如圖1所示：

∵四邊形EFP₁Q₁為平行四邊形，
∴點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為2．
將y=2代入得：$\frac{6}{x}$=2，解得x=3，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（3，2）．
∴FP₁=3．
∵FP₁=EQ₁=3，E的坐標(biāo)為（3，0），
∴Q₁的坐標(biāo)為（6，0）．
∵四邊形FEP₂Q₂為平行四邊形，
∴A為點(diǎn)F與點(diǎn)P₂的中點(diǎn)．
∴點(diǎn)P₂的縱坐標(biāo)為-2．
∴-2=$\frac{6}{x}$，解得x=-3．
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-3，-2）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0）．
∵點(diǎn)A為點(diǎn)P₂和點(diǎn)Q₂的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（-6，0）．
當(dāng)EF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖2所示：

∵EQPF為平行四邊形，
∴FP=QE．
∵FP=3，OE=3，
∴EQ=OE=3．
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，0）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-6，0）或（0，0）或（6，0）時(shí)，四邊形EFPQ為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是反例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系、平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．