Question

4．如圖，∠AOB=90°，反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的圖象過點A（-1，a），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象過點B，且AB∥x軸．
（1）求a和k的值；
（2）過點B作MN∥OA，交x軸于點M，交y軸于點N，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$于另一點C，求△OBC的面積．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，a）代入反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$得到A（-1，2），過A作AE⊥x軸于E，BF⊥⊥x軸于F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到B（4，2），于是得到k=4×2=8；
（2）求的直線AO的解析式為y=-2x，設(shè)直線MN的解析式為y=-2x+b，得到直線MN的解析式為y=-2x+10，解方程組得到C（1，8），于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的圖象過點A（-1，a），
∴a=-$\frac{2}{-1}$=2，
∴A（-1，2），
過A作AE⊥x軸于E，BF⊥⊥x軸于F，
∴AE=2，OE=1，
∵AB∥x軸，
∴BF=2，
∵∠AOB=90°，
∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
∴△AEO∽△OFB，
∴$\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{BF}$，
∴OF=4，
∴B（4，2），
∴k=4×2=8；
（2）∵直線OA過A（-1，2），
∴直線AO的解析式為y=-2x，
∵M(jìn)N∥OA，
∴設(shè)直線MN的解析式為y=-2x+b，
∴2=-2×4+b，
∴b=10，
∴直線MN的解析式為y=-2x+10，
∵直線MN交x軸于點M，交y軸于點N，
∴M（5，0），N（0，10），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+10}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（1，8），
∴△OBC的面積=S_△OMN-S_△OCN-S_△OBM=$\frac{1}{2}×$5×10-$\frac{1}{2}$×10×1-$\frac{1}{2}$×5×2=15．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．