Question

9．如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是邊AD上一點，將△EDC沿EC翻折，點D的對應點D′落在正方形內(nèi)部，若△AD′E恰是以D′E為腰的等腰三角形，那么DE的長為4$\sqrt{2}$-4或2．

Answer 1

分析 分兩種情況進行討論：AD'=ED'和D'E=AE，分別根據(jù)折疊的性質(zhì)以及勾股定理進行計算，即可求得DE的長．

解答 解：①如圖，當A、D'、C三點共線時，∠EAD'=45°，
由折疊可得∠D=∠CD'E=∠AD'E=90°，DE=D'E，
∴∠AED'=45°，
∴∠EAD'=∠AED'，
∴AD'=ED'，即△AD'E是以D′E為腰的等腰三角形，
又∵Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，而CD'=CD=4，
∴AD'=4$\sqrt{2}$-4，
∴DE=D'E=AD'=4$\sqrt{2}$-4；
②如圖，當D'E=AE時，△AD'E是以D′E為腰的等腰三角形，
由折疊得，DE=D'E，
∴AE=DE，
又∵AE+DE=AD=4，
∴DE=2．
故答案為：4$\sqrt{2}$-4或2

點評 本題以折疊問題的背景，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)的綜合應用，進行分類討論是解題的關鍵．